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Construction of optimal quantizers for Gaussian measures on Banach spaces

TitleConstruction of optimal quantizers for Gaussian measures on Banach spaces
Publication TypeThesis
Year of Publication2008
AuthorsBenedikt Wilbertz
AdvisorHarald Luschgy
Academic DepartmentMathematik
UniversityUniversität Trier
Keywordsapproximation, Banach space, Brownian motion, Gaussian measures, quantization
Abstract

In this thesis, we investigate the quantization problem of Gaussian measures on Banach spaces by means of constructive methods.
That is, for a random variable $ X $ and a natural number $ N $, we are searching for those $ N $ elements in the underlying Banach space which give the best approximation to $ X $ in the average sense.
We particularly focus on centered Gaussians on the space of continuous functions on $ [0,1] $ equipped with the supremum-norm, since in that case all known methods failed to achieve the optimal quantization rate for important Gauss-processes.
In fact, by means of Spline-approximations and a scheme based on the Best-Approximations in the sense of the Kolmogorov $ n $-width we were able to attain the optimal rate of convergence to zero for these quantization problems.
Moreover, we established a new upper bound for the quantization error, which is based on a very simple criterion, the modulus of smoothness of the covariance function.
Finally, we explicitly constructed those quantizers numerically.
Native Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir das Quantisierungsproblem für Gaußmaße auf Banachräumen mit Hilfe von konstruktiven Verfahren.
Dies bedeutet, dass wir für eine Zufallsvariable $ X $ und eine natürliche Zahl N diejenigen $ N $ Elemente aus dem zugrundeliegenden Banachraum suchen, welche $ X $ bestmöglich approximieren.
Wir konzentrieren uns hierbei insbesondere auf den Fall zentrierter Gauß-Zufallsvariablen auf dem Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall $ [0,1] $ mit der Supremumsnorm, da in diesem Falle alle bisherigen Ansätze scheiterten, mit Hilfe von konstruktiven Methoden die optimale Quantisierungsrate wichtiger Gaußprozesse zu erreichen.
Durch den Einsatz von Splineapproximationen und einem Schema, welches auf Bestapproximationen im Sinne der Kolmogorov'schen $ n $-width beruht, waren wir in der Lage, dieses Quantisierungsproblem raten-optimal zu lösen.
Dabei konnten wir des weiteren eine neue, obere Schranke für Quantisierungsfehler angeben, welche auf einem sehr einfachen Kriterium, dem Glattheitsmodul der Kovarianzfunktion, beruht.
Abschließend haben wir diese Quantisierer explizit mit Hilfe numerischer Verfahren konstruiert.